یک شیء دایره‌ای شکل انتخاب کنید و نخی را دور آن بپیچید و سپس با خط‌کش اندازه بگیرید. طول این نخ چه کمیتی از دایره را مشخص می‌کند؟ با استفاده از این مقدار شعاع دایره را به دست آورید.
## ۱. تحلیل اندازهٔ نخ
طول نخی که کاملاً دور یک شیء دایره‌ای شکل پیچیده می‌شود، **محیط (Circumference)** آن دایره را مشخص می‌کند.
## ۲. محاسبهٔ شعاع
رابطهٔ محیط دایره ($C$) با شعاع ($r$) به صورت زیر است:
$$C = 2 \pi r$$
برای به دست آوردن شعاع ($r$)، باید مقدار محیط اندازه‌گیری شده را بر $2\pi$ تقسیم کنیم:
$$r = \frac{C}{2\pi}$$
$$\text{طول نخ}: \text{محیط دایره } (C)$$
$$\text{شعاع دایره}: r = \frac{C}{2\pi}$$
قطعه نخی را به اندازهٔ شعاع دایره برش دهید و آن را از نقطهٔ $A$ روی آن دایره قرار دهید تا نقطهٔ $B$ حاصل شود (شکل مقابل). اندازهٔ $\angle AOB$ را با نقاله اندازه‌گیری کنید. این زاویه تقریباً چند درجه است؟
## ۱. تعریف رادیان
قوس $AB$ دارای طولی برابر با شعاع ($r$) است. زاویهٔ مرکزی مقابل به قوسی که طول آن برابر شعاع دایره است، در تعریف **یک رادیان** گنجانده می‌شود.
$$\text{زاویهٔ مرکزی } (\angle AOB) = 1 \text{ رادیان}$$
## ۲. تبدیل رادیان به درجه
مقدار یک رادیان بر حسب درجه از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
$$1 \text{ رادیان} = \frac{180^{\circ}}{\pi}$$
با تقریب $\pi \approx 3.14$:
$$1 \text{ رادیان} \approx \frac{180^{\circ}}{3.14} \approx 57.3^{\circ}$$
$$\text{اندازهٔ زاویه } \angle AOB \text{ (با اندازه‌گیری با نقاله)}: \mathbf{\approx 57.3^{\circ}}$$
دوباره قطعه نخ را از نقطهٔ $B$ روی دایره قرار دهید تا نقطهٔ $C$ حاصل شود و این کار را ادامه دهید تا نقاط $D, E, F, G$ روی دایره به دست آیند (شکل مقابل). آیا دو نقطهٔ $G$ و $A$ بر هم منطبق می‌شوند؟
به این ترتیب $6$ زاویهٔ مرکزی حاصل می‌شود که طول کمان روبه‌روی هر یک از آن‌ها با $\angle COD$, $\angle BOC$, $\angle FOG$, $\angle EOF$, $\angle DOE$ و $\angle GHA$ برابر و هر یک تقریباً $\dots$ درجه است. به هر یک از این زاویه‌ها یک رادیان می‌گوییم.
## ۱. بررسی تعداد کمان‌ها و انطباق نقاط
محیط دایره $C = 2\pi r$ است. طول هر کمان ایجاد شده برابر با $r$ (یک رادیان) است.
$$\text{تعداد کمان‌های } r \text{ در محیط} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi$$
با تقریب $\pi \approx 3.14$:
$$\text{تعداد کمان‌ها} \approx 2 \times 3.14 = 6.28$$
چون تعداد کمان‌های به طول $r$ برابر با $2\pi \approx 6.28$ است، با قرار دادن ۶ کمان، نقطهٔ $G$ بر $A$ منطبق **نمی‌شود** و یک فاصلهٔ کوچک ($pprox 0.28 r$) بین $G$ و $A$ باقی می‌ماند.
$$\text{آیا دو نقطهٔ } G \text{ و } A \text{ بر هم منطبق می‌شوند؟}: \mathbf{\text{خیر.}}$$
## ۲. تعیین اندازهٔ زاویه
اندازهٔ هر یک از زاویه‌های مرکزی مقابل کمان به طول $r$ برابر **یک رادیان** است که تقریباً برابر $57.3^{\circ}$ است (از قسمت قبل).
$$\text{اندازهٔ زاویه‌ها}: \mathbf{\approx 57.3^{\circ}}$$
$$\text{به این ترتیب } 6 \text{ زاویهٔ مرکزی حاصل می‌شود که طول کمان روبه‌روی هر یک از آن‌ها با } \mathbf{\mathbf{r} \text{ برابر}} \text{ و هر یک تقریباً } \mathbf{57.3} \text{ درجه است.}$$
جدول زیر را کامل کنید.
| شکل | $ots$ | $ots$ | $ots$ | $ots$ | $ots$ | $ots$ | $ots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| طول کمان $AB_i$ | $6r$ | $ots$ | $4r$ | $ots$ | $2r$ | $\frac{3}{2}r$ | $r$ |
| اندازهٔ زاویه $\angle AOB_i$ | $ots$ | $5 \text{ رادیان}$ | $ots$ | $3 \text{ رادیان}$ | $2 \text{ رادیان}$ | $\frac{3}{2} \text{ رادیان}$ | $1 \text{ رادیان}$ |
رابطهٔ بین اندازهٔ زاویهٔ مرکزی ($\theta$ بر حسب رادیان) و طول کمان روبه‌رو ($L$) در دایره‌ای به شعاع $r$ به صورت زیر است:
$$\mathbf{L = r \theta} \Rightarrow \mathbf{\theta = \frac{L}{r}}$$
## ۱. محاسبهٔ زاویه‌ها (ستون ۱ و ۳)
* **طول کمان $6r$**: $$\theta = \frac{6r}{r} = 6 \text{ رادیان}$$
* **طول کمان $4r$**: $$\theta = \frac{4r}{r} = 4 \text{ رادیان}$$
## ۲. محاسبهٔ طول کمان‌ها (ستون ۲ و ۴)
* **زاویهٔ $5$ رادیان**: $$L = r \times 5 = 5r$$
* **زاویهٔ $3$ رادیان**: $$L = r \times 3 = 3r$$
## ۳. تکمیل جدول
| شکل | $B_7$ | $B_6$ | $B_5$ | $B_4$ | $B_3$ | $B_2$ | $B_1$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| **طول کمان $AB_i$** | $6r$ | $\mathbf{5r}$ | $4r$ | $\mathbf{3r}$ | $2r$ | $\frac{3}{2}r$ | $r$ |
| **اندازهٔ زاویه $\angle AOB_i$** | $\mathbf{6 \text{ رادیان}}$ | $5 \text{ رادیان}$ | $\mathbf{4 \text{ رادیان}}$ | $3 \text{ رادیان}$ | $2 \text{ رادیان}$ | $\frac{3}{2} \text{ رادیان}$ | $1 \text{ رادیان}$ |
